【常用导数公式】在微积分的学习过程中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。掌握常用的导数公式对于解决数学问题、物理建模以及工程计算等都具有重要意义。以下是对一些常见函数的导数进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（$ n $ 为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数及其反函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、复合函数的导数（链式法则）
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- 若 $ y = (3x + 2)^5 $，则 $ y' = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4 $
- 若 $ y = \sin(2x) $，则 $ y' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) $
四、高阶导数与隐函数求导
虽然本文主要介绍的是基本导数公式，但值得注意的是，某些函数需要通过多次求导或利用隐函数求导法来获得其导数。例如：
- 对于 $ y = x^3 + 2x $，一阶导数为 $ y' = 3x^2 + 2 $，二阶导数为 $ y'' = 6x $
- 若 $ x^2 + y^2 = 1 $，可对两边同时对 $ x $ 求导，得到 $ 2x + 2y \cdot y' = 0 $，从而解得 $ y' = -\frac{x}{y} $
五、小结
导数是微积分的核心内容之一，掌握常见的导数公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。通过不断练习和应用这些公式，可以更好地应对各种数学问题和实际应用场景。
希望本文能为你的学习提供帮助！